Теорема Чевы

Теорема Чевы — классическая теорема аффинной геометрии и геометрии треугольника. Установлена в 1678 году итальянским инженером Джованни Чевой.

Формулировка

Определим чевиану как отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне.

Три чевианы [math]\displaystyle{ AA', BB', CC' }[/math] треугольника [math]\displaystyle{ ABC }[/math] проходят через одну точку тогда и только тогда, когда:

[math]\displaystyle{ \frac{BA'\cdot CB'\cdot AC'}{A'C\cdot B'A\cdot C'B}=1 }[/math]

Замечания

Эта теорема является аффинной, то есть она может быть сформулирована с использованием только тех свойств, которые сохраняются при аффинных преобразованиях.

Вариации и обобщения

Теорема Чевы для точек, лежащих на продолжениях сторон. Чевианы и их основания обозначены зелёным цветом, а точка их пересечения — голубым.

• Эту теорему можно обобщить на случай, когда точки [math]\displaystyle{ A', B', C' }[/math] лежат на продолжениях сторон [math]\displaystyle{ BC, CA, AB }[/math]. Для этого надо воспользоваться «отношением направленных отрезков». Оно определено для двух коллинеарных направленных отрезков [math]\displaystyle{ XY }[/math] и [math]\displaystyle{ ZT }[/math] и обозначается [math]\displaystyle{ {XY}/{ZT} }[/math]
  • Пусть [math]\displaystyle{ A', B', C' }[/math] лежат на прямых [math]\displaystyle{ BC, CA, AB }[/math] треугольника [math]\displaystyle{ ABC }[/math]. Прямые [math]\displaystyle{ AA', BB', CC' }[/math] конкурентны (то есть параллельны или пересекаются в одной точке) тогда и только тогда, когда: [math]\displaystyle{ \frac{BA'}{A'C}\cdot \frac{CB'}{B'A}\cdot \frac{AC'}{C'B}=1 }[/math]

• Теорема Понселе. Исходную теорему Чевы можно обобщить на случай многоугольника с нечетным числом сторон. Тогда её называют теоремой Понселе. Она звучит так: прямые, соединяющие какую-нибудь точку с вершинами многоугольника, имеющего нечётное число сторон, образуют на противоположных его сторонах такие отрезки, что произведение отрезков, не имеющих общих концов, равно произведению остальных отрезков (см. п. 23, с 35. в )
• Тригонометрическая теорема Чевы:

  [math]\displaystyle{ \frac{\sin\angle BAA'}{\sin\angle A'AC}\cdot\frac{\sin\angle ACC'}{\sin\angle C'CB}\cdot\frac{\sin\angle CBB'}{\sin\angle B'BA}=1. }[/math]

При этом углы здесь считаются ориентированными; то есть [math]\displaystyle{ \angle XYZ }[/math] есть угол, на который надо повернуть прямую [math]\displaystyle{ XY }[/math] против часовой стрелки, чтоб получить прямую [math]\displaystyle{ YZ }[/math].

О доказательствах

Известны доказательства

• методом площадей,
• с помощью геометрии масс,
• двойное применение теоремы Менелая и многие другие.

Сам Чева привёл доказательство с помощью геометрии масс, но существует также и другие доказательства.

См. также

• Двойное отношение
• Отношение направленных отрезков
• Пропорциональные отрезки
• Теорема Ван-Обеля о треугольнике
• Теорема Менелая
• Чевиана

Литература

• Балк М. Б., Болтянский В. Г. Геометрия масс. — М.: Наука, 1987. —(Библиотечка «Квант»)).
• Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).
• Мякишев А. Г. Элементы геометрии треугольника. Серия: «Библиотека „Математическое просвещение“». М.: МЦНМО, 2002.
• Филипповский Г. Б. Теоремы Чевы, Менелая и Ван-Обеля// Математика. Все для учителя! № 9 (21). сентябрь. 2012. с. 7-19// https://yagubov.su/MATH2/06K/06615Z.pdf
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 66—68. — ISBN 5-94057-170-0.
• Шаль, Мишель. О сочинении Чевы, под заглавием: De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio (in — 4°, Milan, 1678). // Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Т. 2. М., 1883.
• Giovanni Ceva. De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio Milan, 1678